Sok/skuffe-princippet

Udfaldet af kvartfinalerne i Champions League fik mig til at tænke på den bedst navngivne sætning fra matematikken, så enkel som nogen og dog supernyttig:

Sok/skuffe-princippet

Hvis man skal dele n dimser op i m<n bunker så er der mindst en bunke hvor der er mere end en dims.

Eksempel: Hvis man har 5 sokker og 4 skuffer, så er der mindst en skuffe med to sokker i.

Navnet er godtnok nogenlunde ligeså hjemmestrikket som sokkerne kan være detNavnet ("skuffeprincippet") kommer fra Dirichlet, selv om det lyder hjemmestrikket. Det er indlysende at princippet er rigtigt, og dog er det fantastisk god viden, man kan bruge til mange fornuftige ting. F.eks. kan vi regne ud, fordi der er 3 engelske hold til de to semifinaler i Champions League, at en af semifinalerne bliver med to engelske hold og derfra at der vil være et engelsk hold i finalen.

Vi kan også bruge sok/skuffe-princippet sammen med Pythagoras, som vi har bevist ovre på Kaffeklub-bloggen, og så kan man pludselig lave ting, som man ikke skulle tro havde noget at gøre med skuffer:

Hvis man anbringer 10 punkter i et kvadrat med sidelængde 2, så er der to af punkterne der har en afstand mindre end 1.

Hvordan bruger man sok/skuffeprincippet til at lave geometri, lige pludselig ? Man bygger selv nogen skuffer: Hvis vi skærer kvadratet op i 9 lige store skufferkvadrater (altså 3 på hver led), som hver får sidelængde 2/3, så ved vi fra sok/skuffeprincippet at ét af de 9 kvadrater rummer mindst 2 af de 10 punkter. Længden af diagonalen i kvadratet kender vi fra Pythagoras. Den er kvadratroden af 2/3^2 + 2/3^2 = kvadratroden af 8/9. 8/9 er mindre end 1, så det er kvadratroden også. Diagonalen i et kvadrat er den længste mulige afstand mellem to punkter i kvadratet, og derfor ved vi altså at de to punkter vi fik fra sok/skuffe princippet har en afstand mindre end 1.

(jeg skal nok lade være med at lade bloggen hensynke i nemme matematikopgaver, men jeg kan ikke sove)

(I sammenhæng med bloggingens code of conduct kan vi også bruge princippet: Hvis millioner af forskellige meninger skal mødes på nogle tusinde blogs, så vil der være nogen blogs hvor meningsforskelle opstår. Det totalt høflige univers er altså umuligt - eller voldsomt meningsmæssigt ensrettet.)

Posted by Claus at April 12, 2007 03:32 AM | TrackBack (0)