Reading xkcd, about the Voynich manuscript, led to a brief detour through the biographies of William and Elizebeth Friedman, to the origins of the modern cryptography services and some brief thoughts on the whole idea of the clandestine, and of discovery and investigation. William Friedman was originally a biologist working in genetics, but founded modern american cryptology. He was introduced to the field while courting his wife, working on something as exotic as the alleged Francis Bacon ciphers in Shakespeares manuscripts. The husband and wife cryptanalysts had a long career where both were active in uncovering secret codes, Mr Friedman for the military and the war effort, Mrs. Friedman both for the war effort and during the prohibition, finding smugglers.
Cryptanalysis, the way the problem is posed, is a lot like the way mathematics education worked, when I was training as a mathematician. There's a bag of problems. Go find solutions. Problems always have solutions. They are artifacts of intelligent design, and you can find the design principles through careful thinking.
This notion, that the world is a riddle to be unpuzzled, rhymes with a lot of classic superstitions about the real world, also interpreted as meaning to be interpreted. Reading tea leaves, dissecting animals to find out the future, etc. It is little wonder that a lot of the intelligence community symbolism seems to rhyme with symbolism of classic superstitions and secret societies. There are symbols, their meaning is real, uncover it.
I did OK as a riddle solver at the university, but not by any means brilliantly, and as an education for later work, Riddle U, isn't really where you want to go. A couple of useful skills that aren't part of Riddle U are model making (i.e. building worlds that can hold riddles) and observation, i.e. experimentation and the traditional skills of most of the other natural sciences. One can argue that Riddle U does not really teach science at all, without observation and an awareness of the language/model as being only a model, of the structural noise in the mapping to actual phenomena.
Another problem with Riddle U, is that real research math isn't really like that, since you don't have the world with riddles in them. You need to come up with the language for the world first.
I think computers have changed all that since then. That's the impression I get when talking to former co-students who are teaching math now. There's an enhanced emphasis on testing things, trying things out to get a feel for what could be true. And this kind of imaginative math is really much better; both in forming new research mathematicians, but also in changing the perception of what math is for.
If I look around at what skills are required to do great things, of course the ability to construct logically complex structures - the primary skill at Riddle U - is still very valuable, but most of the stuff you need to do is more observation and experimentation. You're collecting information more of the time, and puzzling less of the time. It's a biological or botanical skill.
There's so much world and language being produced around us all of the time that going deep and puzzling about select parts of it, isn't necessarily the most productive thing. The world - even that intelligently designed, of words and puzzles - is biological now and the ability to observe it patiently and intelligently has taken over as the primary skill required.
I guess its only natural in a world of complex systems. Biology is the primary early science of complex emergent systems. Maybe Riddle U simply has not caught up to complexity yet. DARPA seems to think so (word doc).
While we wait, the primary skills involved in complexity are 1) your imagination; ability to tell a story through the complex landscape and 2) statistical, heuristic math - which is not really riddle solving but more information farming on complexity soil.
Mentally I'm fine with that. I was always better at intuition than riddles. Mathematically, that's quite a retooling.
En af dem har endda noget at gøre med svineinfluenza.
Sidste år offentliggjorde DARPA, det er dem det fundede den forskning, der gav os internettet, en liste med 23 videnskabelige (ok, matematiske) udfordringer til fremtiden. De kommer i et kedeligt Word-dokument, der for 27/29-deles vedkommende bare er kedeligt formalia om hvordan man søger penge, hvis man har et projekt der passer ind i programmet. Men programmet i sig selv, er lige så godt som en hvilkensomhelst anden liste jeg har set af store videnskabelige udfordringer. Jeg udelader lige de kedelige rent matematiske af dem, men kan ved siden af sådan nogen nævne
Altså alt i alt, bedre matematik til tilfældighed og analyse af meget komplekse forhold - med særlig plads til faktisk at lave noget ordentlig matematik til biologi.
Matematik er udviklet som fysikkens stedsøster, og måske giver det mening at skifte søsterfag i det 21. århundrede.
Der er et dejligt schwung over listen. En optimisme, på videnskabens vegne, man godt kan savne i den kedsommelige danske hverdags krav om anvendelighed af viden.
Fraværende fra listen: Klimaet. Men det skønner man sikkert i denne sammenhæng at have en rimelig beskrivelse for allerede.
Bonus "nye værktøj til biovidenskaberne": Paul Allens hi-tech hjerneatlas
The latest incarnation of the chaos music project is the chaos blues, where I hooked in a synthesizer to generate the sound. But, as Brian Eno says, this immediately presents a new problem; tweakability. Tweaking isn't feeling. It isn't music. It's the old problem of abundance that we know from the jam-shopping experiments, only applied to creativity, the abundance increases the cost of choice, which limits your productivity.
Which is why I wrote down my parts list for my lab, by the way. Sticking to fixed inventory forces me to think about something else than choosing my inventory.
With sound I now have something like 10 dimensions of timbre on the synth, and then I have musical scale, chaos parameter, tempo and all of these can vary in time. It's all too much.
What makes the violin hard to learn, I suspect, is that you can't escape to low dimensionality. There's nothing you can "just do", you always have to deal with the timbral possibilities of the violin on the guitar or keyboard you can escape to low dimensional competence much more easily.
My dream for computer music allows me to dial the dimensionality up as skills grow. Dimension zero is the mp3 player. It just plays. Dimension 1 is the mixtape. And from there you should be able to grow the music into something alive, pulsing and flesh-like.
Listen to this, as the frequency goes up, splits into multiple tones, and then turns into chaos, briefly reintegrates, and then turns back into chaos. You might also like this version, where I've simplified to pure semi tones (i.e. the keys on a piano).
[UPDATE: New personal favourite - in C major - much more dramatic.]
The logistic map is probably the simplest and most celebrated math lab example of chaos.
It's a pretty simple function f. There's a control parameter r. When you take a number, say 0.5 and compute f(0.5) and then f(f(0.5)) and so on, interesting things happen. When the parameter r is low, you quickly end up at a fixed value, some point p where f(p) = p, so the iteration just stays there. When you increase r however, a lot of stuff happens - first a split, so the iteration flip flops between two values, and then that happens again into four values and so on. Above a certain value of r you reach chaos. This famous image shows the fixed points and chaos of the iteration for values of r.
The image however is static - you don't get a feel for how the dynamics of the iteration hops around on the image.
I was curious how that sounds, so I made this Pure Data patch and took a slow slide up the chaos scale. The result is above.
Sjov artikel om Jamie Howarth, og hans rekonstruktion af den eneste kendte liveoptagelse af Woody Guthrie, en bedrift, der netop har fået en Grammy. Der er flere eksempler på hvordan man gør og hvad resultatet bliver i dette radioindslag - der dog er lavet før Guthrieprojektet.
Interessant er det at opdage at mange af korrektionerne ikke rigtig er indlysende når man hører de dårlige versioner, men den korrigerede version har altid en helt anden ro og klarhed i lydbilledet.
Og man forstår Howarths dybe arbejdsglæde, som han udtrykker i radioindslaget, tænk pludselig at kunne høre al denne vidunderlige musik igen.
Min forundring var stor, da classy.dk pludselig begyndte at få inbound links fra et bodybuilding forum (mange der kender mig, vil undre sig lige så meget som jeg selv gjorde det) - og da så linksene pegede på Cantors diagonalbevis blev jeg endnu mere mystificeret. Det viste sig at tråden handlede om det spændende spørgsmål "Er 0.9999999.... med uendeligt mange nitaller det samme som, eller forskellig fra, 1?".
For den trænede er svaret et indlysende "det samme som" - og muligvis er man endda en smule forundret over at det kan mystificere så meget at der er mere end en repræsentation af et bestemt tal - men spørgsmålet, og den synliggørelse af det uendelige det udgør, viser sig at have et virkeligt godt tag i folkedybet. Hvilket man naturligvis forvisser sig om ved at opsøge folkedybets helt egen videnskilde par excellence - Wikipedia. Artiklen om decimalekspansionen af 1 er - som megen anden kontakt med folkloristisk grundet viden - frustrerende og interessant på samme tid.
Artiklen er absurd grundig omkring hvorfor tallene er ens - og så har den fået plads til et større afsnit om hvorfor, hvornår og hvordan folk ikke tror på at det passer, og selvfølgelig også den på Wikipedia allestedsnærværende "in popular culture" sektion om hvilke steder geeks har fundet det relevant at diskutere spørgsmålet.
Artiklen illustrerer både det bedste og det værste ved Wikipedia. Det bedste: Alle bliver mødt med den tvivl de har på det niveau de har den. Det værste: Al den tvivl fylder jo op og tager tid - hvordan skal vi nogen sinde komme videre når nye mentale fejlbilleder lige skal forklares først. Er der en reel udvikling i vores viden, hvis det bare er tvivlen der fylder harddiskene?
Udfaldet af kvartfinalerne i Champions League fik mig til at tænke på den bedst navngivne sætning fra matematikken, så enkel som nogen og dog supernyttig:
Sok/skuffe-princippetHvis man skal dele n dimser op i m<n bunker så er der mindst en bunke hvor der er mere end en dims.
Eksempel: Hvis man har 5 sokker og 4 skuffer, så er der mindst en skuffe med to sokker i.
Vi kan også bruge sok/skuffe-princippet sammen med Pythagoras, som vi har bevist ovre på Kaffeklub-bloggen, og så kan man pludselig lave ting, som man ikke skulle tro havde noget at gøre med skuffer:
Hvis man anbringer 10 punkter i et kvadrat med sidelængde 2, så er der to af punkterne der har en afstand mindre end 1.
(jeg skal nok lade være med at lade bloggen hensynke i nemme matematikopgaver, men jeg kan ikke sove)
(I sammenhæng med bloggingens code of conduct kan vi også bruge princippet: Hvis millioner af forskellige meninger skal mødes på nogle tusinde blogs, så vil der være nogen blogs hvor meningsforskelle opstår. Det totalt høflige univers er altså umuligt - eller voldsomt meningsmæssigt ensrettet.)
Læsere af min blogromanprogramerklæring vil huske at en af pointerne var at få noget matematik og den slags ind i populærkulturen. Jeg fandt i dag et meget nyttigt powerpoint slidedeck om matematik og fortælling. Der er ideer til hvordan narrativer og algoritmer hænger sammen, overblik over forskellige måder at forbinde matematik og narrativer på og mange andre sjove vinkler.
Det stammer fra en hel konference om emnet afholdt specifikt med det formål at reintroducere matematikken i den almene kultur, et formål vi varm kan bifalde her på redaktionen.
(iøvrigt er blogromanen ikke død, den brygger i baggrunden og vil snart blive vækket for alvor)
3.14 er idag og naturligvis synes amerikanere, som vender datoerne på den måde, at det er pi-dag. I dansk almindelig datonotation er 22/7 at foretrække. Det er en anelse mere præcist. Nå, men nok om det. I dagens anledning til jeg fortælle en historie* om ikke rigtig at passe ind. I gymnasiet læste jeg Gödel, Escher, Bach og fik matematisk blod på tanden ved at støde på ting som Cantors diagonalbevis. Douglas Hofstadter har i bogen, eller måske er det i hans Scientfic American klummesamling, en anekdote om den klub han var med i i High School. Det var en uformel "lær decimaludviklingen af Pi så godt som muligt"-konkurrence mellem ham og nogen venner. Målet for medlemmerne var at nå ud omkring decimal 800 hvor man når til en længere serie af 9-taller. Så får man nemlig fornøjelsen at kunne sige, så adspredt som muligt "9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 og så videre derudaf". Til en forelæsning på matematik engang fortalte jeg anekdoten i en pause, fordi jeg syntes det var lettere komisk**, men der var ingen der grinte. Istedet begyndte de "Jeg ku' ca 70 engang". "Jeg ku' kun 50 - hvordan er det nu det går" - og så gik de ellers i gang på tavlen...
Der er ikke nogen i telefonbogen med pi som telefonnummer - til gengæld har en Anette Rasmussen fra Århus grundtallet i den naturlige logaritme, e, som mobilnummer.
* folk, der har mødt mig og derfor hørt historien for mange gange må finde en anden blog i de næste par minutter.
** jeg har aldrig drevet det længere i sporten end til at kunne huskereglen "det er antallet af bogstaver i ordene 'How I Wish I Could Enumerate Pi Easily'".
Nu hvor jeg sidder og tænker over det i forbindelse med Moby Dick, så må jeg indrømme at jeg ofte kommer til at savne mit gamle fag, matematikken. Faget hvor diskret ikke har noget at gøre med god tone, hvor abstrakt nonsens er en hædret (hvis også ugleset) disciplin og hvor man endelig helt uden anklager om at være en arrogant storbystøjsender kan kalde alle mulige ting totalt det ene og komplet det andet. Det eneste problem er at udsigten er bedst fra toppen, og at man kun kan komme derop til fods.
Jeg må se at komme i form til de ture igen. Min appetit på læsemateriale har imidlertid ændret sig en del siden jeg var 20. Matematik, sådan som undervisningen foregik på KU ihvertfald, var i høj grad sportsklatring, hvis vi skal blive i bjergmetaforen lidt for længe: Det drejede sig om at have det letteste, lækreste, nyeste udstyr til argumenterne og det handler om at komme op og ned igen så hurtigt som muligt. Jeg kan bedre lide, og det kunne jeg egentlig også dengang, at nyde udsigten - og allerbedst er turen hvis den går et sted hen og ikke bare er anstrengelse for anstrengelsens skyld. Den for for ræson i matematik forventedes det i høj grad at man selv kunne fylde på - undervisningen gjorde ikke så frygtelig meget ud af det. Der er ligefrem i matematik et stigma imod anvendelser - fordi anvendelserne installerer en kynisme, der går at man ikke fokuserer på det bedst mulige argument, men bare på et der virker. Æstetik i argumentationen er vigtigt for fagets udvikling - mange (måske alle?) matematiske discipliner er opstået og udviklet som værktøjsdiscipliner man skulle bruge andre steder og er så siden selv blevet aktive forskningsområder. Anvendelser er i strid med det ideal. Fordi matematiske beviser er eksakte størrelser så kan selv de grimme jo sådan set godt bruges hvis man virkelig skal. Og så kan anvendelser også sjældent nøjes med de idealiseringer man tillader sig i den rene matematik for at komme højt til vejrs.
De ting jeg selv har vidst en smule om for 10 år siden er som værktøjsfag udsprunget af fysikken, og for de aller dygtigste i faget hænger selv de hårdeste abstraktioner og anvendelsen stadig sammen, men forbindelsen er mere tåget længere nede i hierarkiet.
Nu er det gode spørgsmål hvilke dele af den rene matematik man lettest fastholder en interesse til con amore. Hvor man bedst kan komme i form igen til at finde på interessante svar og finde på gode spørgsmål. Man skal rimeligvis ikke gå for langt væk fra det der fængede dengang, og så skal man rimeligvis (så skal jeg rimeligvis) have bare et minimum af anvendelser på - ligesom faget rimeligvis skal udtrykkes i kode, og ikke bare på papir. Jeg må lede efter noget egnet genoptræningsmateriale. Genoptræning er noget andet end indlæring. Man skal både have tingene lidt mere ind med skeer end godt er, og så alligevel spares for en hel masse "sådan lærer du det" snak. Hvis der er matematisk begavede læsere i bloggens nabolag der har gode forslag til læsning, så hører jeg meget gerne efter.
Caring about math is not a required emotion around here, but just in case you do, this is a remarkably readable and self contained exposition of some of the best and most confounding magic tricks (read: Proofs from mathematical logic) in mathematics.
I've talked a little about diagonalization before.
Herligt, en hyldestside til pi i anden divideret med seks. Der er for få transcendentale tal, der får den respekt de fortjener.
Bonusfact: Matematisk institut på Århus Universitet havde engang decimalekspansionen af e som telefonnummer: 27 18 28.
Anledning: Jeg modtog følgende SMS fra en sprogstærk ikke-matematiker:
Claus for helvede. Hvad hedder pi i anden på engelsk? Altså, pi er jeg med på, men 'i anden' gør mig sindssyg af nytteløse ordbogsopslag.Bonuskontekst: National sprogpolitik risikerer i denne sammenhæng at gøre det sværere for min korrespondent at udbrede kendskabet til dygtige danskere i den engelsksprogede verden.
Imagine you had listed all infinite series of digits in an infinite list of rows. Like this
1. 12376487648764234
2. 23479072756827345
..
n. 234...8344574534534
(the underlined 7 is in the n'th position)
Then if you took out the numbers I've marked underline bold and shifted them by one (1->2, ..., 9->0) and built the series of these digits
23...8...
then that would be different from any series in the original list. We carefully built the list with one digit from each list in exactly the right place, but shifted by 1.
So there is a series not in the list of series - and this is true no matter how we list the set of series. There simply is no way to list them. The upshot of that: There are more infinte series than there are integers, even though there's an infinite supply of both integer numbers and infinite series. It's possible to be more infinite than the set of integers.
This is the heart of Cantor's celebrated diagonal proof about the noncountability of the real numbers. I first learned of this marvelously simple idea in high school (gymnasiet, altså) when I read one of the classics of expository math, Gödel, Escher, Bach by Douglas Hofstadter. I remember feeling exhilerated when the penny dropped. To think that you could get so dramatic conclusions from such a simple argument. That's when I knew I liked mathematics. This was really a bounty to go for, that kind of gearing for your thoughts - the world literally expanding before your very eyes, and not just by miles or light years, but infinitely, and not just that, but transinfinitely.
The power of the diagonal proof has also been proven by its use, in more technical guises, to prove all kinds of wonderful and mindboggling things. Among them the analogous results of Turing and Gödel on the stopping problem and the completeness of mathematical theories.
